求下列齐次线性方程组的基础解系与通解：{x1+2x2+x3+x4=0{2x1+2x2-x4=0；(P138){5x1+6x2+x

求下列齐次线性方程组的基础解系与通解：
{x₁+2x₂+x₃+x₄=0
{2x₁+2x₂-x₄=0；(P138)
{5x₁+6x₂+x₃-x₄=0
【正确答案】：对矩阵A作初等行变换 A= (1 2 1 1 2 2 0 -1 5 6 1 -1) → (1 2 1 1 0 -2 -2 -3 0 -4 -4 -6) → (1 2 1 1 0 2 2 3 0 0 0 0) → (1 0 -1 -2 0 2 2 3 0 0 0 0) 系数矩阵A的秩为r(A)=2，故基础解系由4-2=2个向量组成，取x，x为自由未知量，得同解方程组 {x₁=x₃+2x₄ {x₂=-x₃-(3/2)x₄ 令自由未知量分别取值 (x₃ x₄)， (1 0)， (0 2)， 得原方程组的一个基础解系 ξ₁= (1 -1 1 0)， ξ₂= (4 -3 0 2) 于是方程组的通解为c₁ξ₁+c₂ξ₂(c₁，c₂为任意常数)．