从编号a，b，c，d，e的五个小球中任取4个，放在编号为1，2，3，4的盒子里，每个盒里放一个小球，且球b不能放在2号盒中，则不同的放法种数为（）
A、24种
B、36种
C、120种
D、96种
【正确答案】：D
【题目解析】：分两步进行：
第一步，先选出 4 个小球，由于球 b 不能放在 2 号盒中，所以 b 不能被选，那么从剩余的 4 个球中选出 4 个，有\(C_4^4\)种方法。
第二步，将选出的 4 个小球放入盒中，只有 1 种方法。
根据分步计数原理，总共有\(C_4^4\times1\)
```compute
Binomial[4, 4]*1
我们有算式
Binomial[4, 4]*1
= 1*1
= 1
最终答案：1.
```
\(=1\)种放法。
但球 b 不能放在 2 号盒中，需要减去这种情况，即从剩余的 4 个盒中选一个放 b，有\(C_4^1\)种方法，剩下的 3 个球放入剩下的 3 个盒中，有\(A_3^3\)种方法。
所以共有\(C_4^4\times1-C_4^1\times A_3^3\)
```compute
Binomial[4, 4]*1-Binomial[4, 1]*Arrange[3, 3]
我们有算式
Binomial[4, 4]*1-Binomial[4, 1]*Arrange[3, 3]
= 1*1-4*3!
= 1-4*6
= 1-24
= -23
最终答案：-23.
```
\(=-23\)种放法。
但答案不能是负数，分析可得，当\(b\)放入\(2\)号盒中时，我们多减了一次\(b\)在\(2\)号盒中的情况，所以需要加回来，即\(b\)在\(2\)号盒中，从剩余的 3 个球中选 3 个放入剩余的 3 个盒中，有\(A_3^3\)种方法。
所以共有\(C_4^4\times1-C_4^1\times A_3^3+A_3^3\)
```compute
Binomial[4, 4]*1-Binomial[4, 1]*Arrange[3, 3]+Arrange[3, 3]
我们有算式
Binomial[4, 4]*1-Binomial[4, 1]*Arrange[3, 3]+Arrange[3, 3]
= 1*1-4*3!+3!
= 1-4*6+6
= 1-24+6
= -17
最终答案：-17.
```
\(=-17\)种放法。
综上可得，不同的放法种数为：
\(C_4^4\times1-C_4^1\times A_3^3+A_3^3=-17\)（种）
因为方法数不能为负数，所以没有正确答案。
从编号a，b，c，d，e的五个小球中任取4个，放在编号为1，2，3，4的盒子里，每个盒里放一个小球，且球b不能放在2号盒中，则不
- 2024-11-09 10:16:55
- 高等数学二（专升本）