设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度 f(x,y)= {1/8(x+y),0≤x≤2,0≤y≤2; 0，其他. 求E(X)，E

设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度
f(x,y)=
{1/8(x+y),0≤x≤2,0≤y≤2;
0，其他.
求E(X)，E(Y)，Cov(X，Y)，p_XY
【正确答案】：E(X)=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞xf(x,y)dxdy =∫²₀x[∫²₀1/2(x+y)dy]dx=6/7； E(Y)=∫²₀[∫²₀y•1/8(x+y)dy]dx=6/7； Cov(X，Y)=E(X-7/6)(Y-7/6)] =∫²₀∫²₀(x-7/6)(y-7/6)1/8(x+y)dxdy =∫²₀{∫²₀[xy-(7/6)x-(7/6)y+(7/6)²]1/8(x+y)dy}dx=-1/36 D(X)=E[X-E(X)]²=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞[x-E(X)]²f(x,y)dxdy =∫²₀∫²₀(x-7/6)²1/8(x+y)dxdy=11/36． D(Y)=11/36． 所以p_XY=Cov(X,Y)/√D(X)√D(Y)=-(1/36)/(11/36)=-(1/11).