设(X，Y)的概率密度 f(x)= {12y2,0≤y≤x≤1; 0,其他 求： (1)关于X、Y的边缘概率密度fX(x),fY

设(X，Y)的概率密度
f(x)=
{12y²,0≤y≤x≤1;
0,其他
求：
(1)关于X、Y的边缘概率密度f_X(x),f_Y(y)；
(2)E(X)，E(Y)；
(3)E(XY)；
(4)E(X³+Y²).
【正确答案】：(1)f_X(x)=∫^+∞_-∞f(x,y)dy= {∫^x₀12²dy,0≤x≤1; 0， 其他． = {12y²(1-y),0≤y≤1; 0， 其他． (2)E(X)=∫^+∞_-∞xf_X(x)dx=∫¹₀x•4x³dx=4/5 E(Y)=∫^+∞_-∞yf_Y(y)dy=∫¹₀•12y²(1-y)dy=12∫¹₀y³dy-12∫¹₀y⁴dy=3/5． (3)E(XY)=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞xyf(x,y)dxdy=∫¹₀dx∫^x₀xy•12y²dy=∫¹₀3x⁵dx=1/2 (4)E(X²+Y²)=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞(x²,y²) f(x,y)dxdy=∫¹₀dx∫^x₀(x²,y²)•12y²dy =∫¹₀(4x⁵+(12/5)x⁵)dx=32/5•(1/6)x⁶∣¹₀=16/15.