设二维随机变量(X，Y)的分布函数 F(x，y)=A[B+arctan(x/2][C+arctan(y/3)]， 求：(1)常数

设二维随机变量(X，Y)的分布函数
F(x，y)=A[B+arctan(x/2][C+arctan(y/3)]，
求：(1)常数A，B，C；
(2)(X，Y)的概率密度；
(3)(X，Y)关于X及关于Y的边缘概率密度．
【正确答案】：(1)由分布函数的性质，有： F(+∞，+∞)=A(B+π/2)(C+π/2)=1； F(x，-∞)=A[B+arctan (x-2)](C-π/2)=0； F(-∞，y)=A(B-π/2)[C+arctan(y/3)]=0． 从而得 C=π/2;B=π/2；A=1/π²． (2)F(x，y)=1/π²[π/2+arctan(x/2)][π/2+arctan(y/3)]， 从而概率密度 f(x,y)=(∂²/∂x∂y)=6/[π²(x²+4)(y²+9)]• (3)f_X(x)=∫^+∞_-∞f(x,y)dy =∫^+∞_-∞[6/π²(x²+4)(y²+9)]dy =6/π²(x²+4)∫^+∞_-∞[1/(y²+9)]dy =6/π²(x²+4)[(1/3)arctan(y/3)∣^+∞_-∞ =2/π(x²+4) F_Y(y)=∫^+∞_-∞f(x,y)dx=∫^+∞_-∞[6/π²(x²+4)(y²+9)]dx =6/π²(y²+9)∫^+∞_-∞[1/(x²+4)]dx = 6/π²(y²+9)[(1/2)arctan(x/2)]∣^+∞_-∞ =3/π(y²+9))