设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度为 f(x,y)=1/(50π)e-(x2+y2)/50 证明X与Y相互独立

设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度为
f(x,y)=1/(50π)e^-(x2+y2)/50
证明X与Y相互独立．
【正确答案】：证明：f_X(x) =∫^+∞_-∞f(x,y)dy =∫^+∞_-∞1/(50π)e^-(x2+y2)/50dy =1/(50π)∫^+∞_-∞e^-y2/50dy =1/[5√(2π)]e^-x2/50 f_Y(y) =∫^+∞_-∞f(x,y)dx =∫^+∞_-∞1/(50π)e^-(x2+y2)/50dx =1/(50π)e^-(y2)/50∫^+∞_-∞e^-(x2/50)dx =1/[5√(2π)]e^-y2/50 ∴f(x,y)=f_X(x)•f_Y(y) ∴X与Y相互独立．