设二维随机变量(X，Y)的概率密度 f(x,y)= {ke-(3x+4y),x﹥0,y﹥0; 0,其他 试求：(1)常数k； (

设二维随机变量(X，Y)的概率密度
f(x,y)=
{ke^-(3x+4y),x﹥0,y﹥0;
0,其他
试求：(1)常数k；
(2)p(0≤X≤1，0≤Y≤2)；
(3)(X，Y)的联合分布函数F(x，y)．
【正确答案】：(1)由(X，Y)的联合概率密度的性质，有 ∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞f(x,y)dxdy= ∫^+∞₀dx ∫^+∞₀ke^-(3x+4y)dy =k ∫^+∞₀e^-3xdx∫^+∞₀e^-3ydy=k/12=1, 所以k=1 2． (2)p(0≤X≤1，0≤Y≤2)=∫¹₀dx∫²₀f(x,y)dy =12∫¹₀e^-3xdx∫²₀e^-4ydy=(1-e^-3)(1-e^-8)≈0．9499． (3)当x﹤0或y﹤0时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=0； 当x≥0或y≥0时， F(x，y)=12∫^x_-∞∫^y_-∞e^-(u+4u)dudυ =12∫^x₀e^-3udu∫^y₀e^-4udυ _{=(1-e^-3x)(1-e^-4x). 所以(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)= {(1-e^-3x)(1-e^-4y),x≥0，y≥0； 0， 其他．}