设X为连续随机变量，其概率密度为： f(x)= {Ax2,0﹤x﹤2； 0,其他 求：(1)系数A及分布函数F(x)； (2)P

设X为连续随机变量，其概率密度为：
f(x)=
{Ax²,0﹤x﹤2；
0,其他
求：(1)系数A及分布函数F(x)；
(2)P(1﹤X﹤2)．
【正确答案】：(1)由概率密度的性质得： ∫_-∞^+∞f(x)dx =∫₀²Ax²dx =A(1/3)x³∣₀² =(8/3)A=1． 故A=3/8，于是有： ①当X﹤0时，F(x)=P(x≤x)=∫_-∞^xf(t)dt=0； ②当0≤x≤2时， F(x)=p(X≤x) =∫_-∞^xf(t)dt =∫_-∞⁰f(t)dt+∫₀^xf(t)dt =∫₀^x ③当x≥2时， F(x)=p(X≤x) =∫_-∞^xf(t)dt =∫_-∞⁰f(t)dt+∫₀²f(t)dt+∫₂^xf(t)dt =∫₀²(3/8)t²dt=1 所以随机变量X的分布函数为： F(x)= {0， x﹤0； (1/8)x³，0≤x≤2； 1， x≥2． (2)P(1﹤X﹤2)=P(1﹤x≤2)=∫₁²(3/8)x²dx=7/8.