求A=
(624
232
426)
的特征值和线性无关的特征向量．
【正确答案】：先求出A的特征多项式
|λE-A|=
|λ-6 -2 -4|
| -2 λ-3 -2|
| -4 -2 λ-6|
=
|λ-2 -2 -4 |
| 0 λ-3 -2|
|2-λ -2 λ-6|
=
|λ-2 -2 -4 |
| 0 λ-3 -2 |
| 0 -4 λ-10|
=(λ-2)[(λ-3)(λ-10)-8]
=(λ-2)(λ2-13λ+22)
=(λ-2)2(λ-11)，
因此A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=11．
用来求特征向量的齐次线性方程组为
(λE-A)x=
(λ-6 -2 -4
-2 λ-3 -2
-4 -2 λ-6)
(x1
x2
x3)
=0．
属于λ1=λ2=2的特征向量p=
(x1
x2
x3)
满足
{-4x1-2x2-4x3=0
{-2x1-x2-2x3=0，
{-4x1-2x2-4x3=0
对其系数矩阵作初等行变换
(-4 -2 -4
-2 -1 -2
-4 -2 -4)
→
(2 1 2
0 0 0
0 0 0)
得同解方程组x2=-2(x1+x3)．
可得A的属于特征值2的两个线性无关的特征向量
p1=
(1
-2
0)，
p2=
(0
-2
1)
属于λ=11的特征向量p=
(x1
x2
x3)
满足
{5x1-2x2-4x3=0
{-2x1+8x1-2x3=0，
{-4x1-2x2+5x3=0
消去前两个方程中的x3，可得9x1-18x2=0，即x1=2x2．消去后两个方程中的x1，可得
18x2-9x3=0，即x3=2x2，于是可求出A的属于特征值11的特征向量
p3=
(2
1
2)
求A= (624 232 426) 的特征值和线性无关的特征向量．
- 2024-11-07 03:15:04
- 线性代数（工）(13175)