下列矩阵是否可以对角化，对于可以对角化的矩阵A，求出可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵． (1) (10 -11) (2) (

下列矩阵是否可以对角化，对于可以对角化的矩阵A，求出可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵．
(1)
(10
-11)
(2)
(-7-10
34)
【正确答案】：矩阵A= (0 1 -1 1) 的特征多项式为 |λE-A|= |λ-1 0| | 1 λ-1| =(λ-1)， 所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1． 对于特征值λ₁=λ₂=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 E-A= (0 0 1 0) → (1 0 0 0) 方程组的基础解系为α₁= (0 1)， 故矩阵不能相似对角化． (2) (-7 -10 3 4) 解：矩阵A= (-7 -10 3 4) 的特征多项式为 |λE-A|= |λ+7 10| | -3 λ-4| =(λ+1)(λ+2)， 得矩阵A的特征值λ₁=-1，λ₂=-2． 对于特征值λ₁=-1，解齐次线性方程组(-E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -E-A= (6 10 -3 -5) → (3 5 0 0) → (1 5/3 0 0) 方程组的基础解系为α₁= (-5 3)， 故A的属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为α₁． 对于特征值λ₂=-2，解齐次线性方程组(-2E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -2E-A= (5 10 -3 -6) → (1 2 0 0) 方程组的基础解系为α₂= (-2 1)， 故A的属于特征值λ₂=-2的一个特征向量为α₂．α₁，α₂线性无关，故A可以相似对角化，令 P=(α₁，α₂)= (-5 -2 3 1) 则有P^-1AP= (-1 0 0 -2)