设三阶方阵A满足Aα1=α1，Aα2=0，Aα3=-α，其中α1=(1，2，2)T，α2=(0，-1，1)T，α3=(0，0，1

设三阶方阵A满足Aα₁=α₁，Aα₂=0，Aα₃=-α，其中α₁=(1，2，2)^T，α₂=(0，-1，1)^T，α₃=(0，0，1)^T．
(1)求A及A⁵；
(2)求方阵B=A³2A²+3E的特征值与特征向量．
【正确答案】：(1)易知λ₁=1，λ₂=0，λ₃=-1为A的3个特征值，对应的特征向量 分别为α₁，α₂，α₃，令P=(α₁，α₂，α₃)则P^-1AP=D= (1 0 -1)， 所以 A=PDP^-1 (1 0 0 2 -1 0 2 1 1) (1 0 -1) (1 0 0 2 -1 0 2 1 1)^-1 (1 0 0 2 0 0 6 -1 -1) 所以A⁵=(PDP^-1)…(PDP^-1)=PD⁵P^-1=PDP^-1=A= (1 0 0 2 0 0 6 -1 -1) (2)Bα=A³α₁-2A²α₁+3α₁=λ₁³ α₁-2λ₁²α₁+3α₁=(λ₁³-2λ₁²+3)α₁=2α₁．所以2为B的一个特征值，对应的特征向量为α；同理可知λ₂³-2λ₂²+3=3为B的一个特征值，对应的特征向量为α₂；λ₃³-2λ₃²+3=0为B的一个特征值，对应的特征向量为α₃，所以B的特征值为2，3，0，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃．