设矩阵A= (5-13 -15-3 3-33)， 求正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵．

设矩阵A=
(5-13
-15-3
3-33)，
求正交矩阵Q，使得Q^-1AQ为对角矩阵．
【正确答案】：A的特征多项式为 |λE-A|= |λ-5 1 -3| | 1 λ-5 3| | -3 3 λ-3| = |λ-5 1 -3 | |-λ²+10λ-24 0 3λ-12| |-3λ+12 0 λ+6 | =(λ-9)(λ-4)λ， 得A的特征值为λ₁=9，λ₂=4，λ₃=0． 对于特征值λ₁=9，解方程组(9E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 9E-A= (4 1 -3 1 4 3 -3 3 6) → (1 -1 -2 4 1 -3 1 4 3) → (1 -1 -2 0 5 5 0 5 5 → (1 -1 -2 0 1 1 0 0 0) → (1 0 -1 0 1 1 0 0 0)， 得方程组的基础解系α₁= (1 -1 1)， 所以A的属于特征值λ₁=9的一个特征向量为α₁，单位化得 β₁= (1/√3 -(1/√3) 1/√3) 对于特征值λ₂=4，解方程组(4E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 4E-A= (-1 1 -3 1 -1 3 -3 3 1) → (1 -1 3 0 0 10 0 0 0) → (1 -1 0 0 0 1 0 0 0) 得方程组的基础解系α₂= (1 1 0)， 所以A的属于特征值λ₂=4的一个特征向量为α₂，单位化β₂= (1/√2 1/√2 0 ) 对于特征值λ₃=0，解方程组(0E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 OE-A= (-5 1 -3 1 -5 3 -3 3 -3) → (1 -1 1 0 -4 2 0 -4 2) → (1 -1 1 0 1 -(1/2) 0 0 0) → (1 0 1/2 0 1 -(1/2) 0 0 0) 得基础解系α₃= (1 -1 -2)， 所以A的属于特征值λ₃=0的一个特征向量为α₃，单位化得β₃= (1/√6 -(1/√6) -(2/√6)) 令Q= (1/√3 1/√2 1/√6 -(1/√3) 1/√2 -(1/√6) 1/√3 0 -(2/√6))， 则Q为正交矩阵，且Q^-1AQ= (9 4 0)