设A= (52 -12-5)， 计算An

设A=
(52
-12-5)，
计算Aⁿ
【正确答案】：A的特征多项式为 |λE-A|= |λ-5 -2 | |12 λ+5| =λ²-1=(λ+1)(λ-1)， 得A的特征多项式λ₁=1，λ₂=-1． 对于特征值λ₁=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 E-A= (-4 -2 12 6) → (12 1 0 0) → (1 1/2 0 0) 方程组的基础解系为α₁= (1 -2)， 所以A的属于特征值λ₁=1的一个特征向量为α₁． 对于特征值λ₂=-1，解齐次线性方程组(-E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -E-A= (-6 -2 12 4) → (3 1 0 0) → (1 1/3 0 0) 方程组的基础解系为α₂= (1 -3)， 所以A的属于特征值λ₂=-1的一个特征向量为α₂． 令P= (1 1 -2 -3)， 则P^-1AP= (1 -1)， 即A=P (1 -1)P^-1， 从而 Aⁿ=P[(¹ _-1)P^-1]ⁿ=P(¹ _-1)ⁿP^-1 =(1 1 -2 -3) (1 (-1)ⁿ) (3 1 -2 -1) = {3+2(-1)ⁿ⁺¹ 1+(-1)ⁿ⁺¹ {-6+6(-1)ⁿ -2+3(-1)ⁿ