已知实对称矩阵A满足A3-4A2+5A-2E=0，试证明A是正定矩阵。

已知实对称矩阵A满足A³-4A²+5A-2E=0，试证明A是正定矩阵。
【正确答案】：由A³-4A²+5A-2E=0，知λ³-4λ²+5λ-2=0，则有λ³-4λ²+5λ-2=（λ-1）（λ²-3λ+2）=（λ-1）²（λ-2）=0 ⟹λ=1,1,2，所以A的特征值只能在1,1,2中取到，但无论取哪个值均大于零且A为实对称矩阵，故A正定。