设线性方程组{x1+x2-2x3+3x4=0{3x1+2x2-8x3+7x4=1，{x1-x2-6x3-x4=2α当α为何值时，

设线性方程组
{x₁+x₂-2x₃+3x₄=0
{3x₁+2x₂-8x₃+7x₄=1，
{x₁-x₂-6x₃-x₄=2α
当α为何值时，方程组有解?并在有解时，求出通解．
【正确答案】：对方程组的增广矩阵作初等行变换 (A，β)= (1 1 -2 3 ┆ 0 3 2 -8 7 ┆ 1 1 -1 -6 -1 ┆ 2α) → (1 1 -2 3 ┆ 0 0 -1 -2 -2 ┆ 1 0 -2 -4 -4 ┆ 2α) → (1 1 -2 3 ┆ 0 0 1 2 2 ┆ -1 0 0 0 0 ┆ 2(α-1)) 当α=1时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，方程组有解， (A，β)→ (1 1 -2 3 ┆ 0 0 1 2 2 ┆ -1 0 0 0 0 ┆ 0) → (1 0 -4 1 ┆ 1 0 1 2 2 ┆ -1 0 0 0 0 ┆ 0) 得同解方程组 {x₁=4x₃-x₄+1 {x₂=2x₃-2x₄-1． 令自由未知量x₃=x₄=0，得方程组的一个特解 η*= (1 -1 0 0) 方程组导出组的同解方程组为 {x₁=4x₃-x₄ {x₂=-2x₃-2x₄ 令自由未知量x₃，x₄分别取值 (x₃ x₄) = (1 0)， (0 1) 得导出组的基础解系 ξ₁= (4 -2 1 0) ξ₂= (-1 -2 0 1) 故方程组的通解为 (1 -1 0 0) +c₁ (4 -2 1 0) +c₂ (-1 -2 0 1) (c₁，c₂为任意常数)．