设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解,则它的通解为______.

设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解,则它的通解为______.
【正确答案】:

由二阶线性常系数微分方程解的结构可知所给方程的通解为其中C1,C2为任意常数.


【题目解析】:二阶常系数线性微分方程 y″+py′+qy=0 的特征方程为$r^2+pr+q=0$。根据特征方程的根的情况,我们可以得到不同类型的通解。本题中,已知 y1(x)、y2(x)是该方程的两个线性无关的解,因此它们满足该方程。根据线性无关的定义,y1(x)和 y2(x)的比值不为常数。这意味着它们不是同一个解的倍数,而是两个独立的解。因此,我们可以使用通解的形式$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$,其中 C1、C2 为任意常数。因此,所给方程的通解为$\underline{y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)}$,其中 C1,C2 为任意常数。