已知随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，令Y=X3，求X与 Y的相关系数pXY

已知随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，令Y=X³，求X与
Y的相关系数p_XY
【正确答案】：E(XY)=E(X⁴) =(1/√2π)∫^+∞_-∞x⁴e^-(x2/2)dx=(1/√2π)∫^+∞_-∞x³de^-(x2/2) =-(1/√2π)x³e^-(x2/2)∣^+∞_-∞+(3/2π)∫^+∞_-∞x²e ^-(x2/2)dx=(3/√2π)∫^+∞_-∞x²e^-(x2/2)dx=3 D(X)=1， D(Y)=E(Y²)-(E(Y))² =E(X⁶)-(E(X³))²． 而E(X⁶)=(1/√2π)∫^+∞_-∞x⁶•e^-(x2/2)dx=15， E(X³)=(3/√2π)∫^+∞_-∞x²e^-(x2/2)dx=0． 则D(Y)=1 5， p_XY=Cov(X,Y)/√D(X)√D(Y)=[E(XY)-E(X)E(Y)]/√D(X)√D(Y)=(3-0)/(1•√15)=√15/5 注意：当X—N(μ，σ)，则有 (1)μ_2m-1=0(m=1，2，…)， (2)μ_2m=(2m-1)(2m-3)…3•σ^2m(m=1，2…)．