设二维随机变量(X，Y)服从圆域C：x2+y2≤R2上的均匀分布，令Z=√(X2+Y2)，求E(Z)．

2024-11-07 16:24:17
概率论与数理统计（工）(13174)

设二维随机变量(X，Y)服从圆域C：x²+y²≤R²上的均匀分布，令Z=√(X²+Y²)，求E(Z)．
【正确答案】：由于(X，Y)服从圆域G：x²+y²≤R²上的均匀分布，所以(X，Y)的概率密度 f(x,y)= {1/(πR^{2</sup),x²+y²≤R²;
0 其他．
从而有
E(Z)=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞√(x²+y²)f(x,y)dxdy
=∫∫_G√(x²+y²)•1/(πR²)dxdy
=∫^2π₀dθ∫^R₀r•1/(πR²)rdr
=1/πR²•2π•(1/3)R³=(2/3)R.}

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