设随机变量X的概率密度为 f(x)= {x,0≤x﹤1； 2-x，1≤x﹤2； 0，其他． 求：(1)E(X)，D(X)； (2

设随机变量X的概率密度为
f(x)=
{x,0≤x﹤1；
2-x，1≤x﹤2；
0，其他．
求：(1)E(X)，D(X)；
(2)E(Xⁿ)，其中n为正整数．
【正确答案】：f(x)= {x, 0≤x﹤1； 2-x，1≤x﹤2； 0， 其他． (1)E(X)=∫^+∞_-∞xf(x)dx=∫¹₀x•xdx+∫²₁x•(2-x)dx=1/3+2/3=1； E(X²)=∫^+∞_-∞x²f(x)dx =∫¹₀x²•xdx+∫²₁x²•(2-x)dx =1/4+2/3+1/4=7/6 D(X)=E(x²)-(Ex)²=7/6-1²=1/6 (2)E(Xⁿ)=∫^+∞_-∞xⁿf(x)dx =∫¹₀xⁿ•xdx+∫²₁xⁿ(2-x)dx =1/(n+1)+[2/(n+1)](2ⁿ⁺¹-1)+[1/(n+2)](1-2ⁿ⁺²) =(2ⁿ⁺²-2)/(n+1)+(2-2ⁿ⁺²)/(n+2) =(2ⁿ⁺²-2)/[(n+1)(n+2)]