设二维随机变量(X，Y)的概率密度 F(x,y)= {1,∣y∣﹤x,0﹤x﹤1; 0其他． 求：(1)E(X)，E(Y)； (

设二维随机变量(X，Y)的概率密度
F(x,y)=
{1,∣y∣﹤x,0﹤x﹤1;
0其他．
求：(1)E(X)，E(Y)；
(2)D(X)，D(Y)；
(3)Cov(X，Y)．
【正确答案】：(1)E(X)=∫^+∞_-∞xf_X(x)dx=∫^+∞_-∞xdx∫^+∞_-∞f(x,y)dx =∫¹₀xdx∫^x_-x1•dy=∫¹₀2x²dx=2/3, E(X²)=∫^+∞_-∞x²f_X(x)dx=∫^+∞_-∞x²dx∫^+∞_-∞f(x,y)dy=∫¹₀x²dx∫^x_-x1•dy=∫¹₀2x³dx=1/2, E(Y)=∫^+∞_-∞yfy(y)dy =∫^+∞_-∞ydy∫^+∞_-∞f(x,y)dx =∫¹₀dx∫^x_-xydy=0. E(Y²)=∫^+∞_-∞y²f_Y(y)dy =∫¹₀dx∫^x_-xy²dy =∫¹₀(2x³/3)dx=1/6. (2)D(X)=E(X²)-(E(X))²=1/2-4/9=1/18， D(Y)=E(Y²)-(E(Y))²=1/6-0=1/6 (3)E(XY)=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞xyf(x,y)dxdy=∫¹₀dx∫^x_-xdy=0 ． 所以Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0．