设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x,y)= {e-y,0﹤x﹤y; 0,其他 (1)求(X，Y)分别关于X和Y．的边缘

设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
f(x,y)=
{e^-y,0﹤x﹤y;
0,其他
(1)求(X，Y)分别关于X和Y．的边缘概率密度f_X(X),f_Y(y)；
(2)判断X与Y是否相互独立，并说明理由；
(3)计算P{X+Y≤l}．
【正确答案】：(1)当x≤0时f_X(x)=0 当x﹥0时f_X(x)=∫^+∞_-∞f(x,y)dy=∫^+∞_xe^-ydy=e^-x ∴f_X(x)= {e^-x x﹥0 0 x≤0 当y≤0时f_Y(y)=0 当y﹥0时f_Y(y)=∫^+∞_-∞f(x,y)dy=∫^y₀ e^-ydx=ye^-y ∴f_Y(y)= {ye^-y y﹥0 0 y≤0 (2)∵f(x，y)≠f_X(x)•f_Y(y) ∴X与Y不相互独立． (3)P{X+Y≤1}=∫∫_x+y≤1f(x,y)dxdy=∫^1/2₀ (∫^-x_xe^-ydy)dx =∫^1/2₀)(e^-x-e^x-1)dx =e^-1+1-2e^-(1/2)