已知二维随机变量(X，Y)的联合概率密度 f(x,y)= {Cxy,0≤x﹤≤1,0≤y≤1; 0,其他 求：(1)常数C； (

已知二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
f(x,y)=
{Cxy,0≤x﹤≤1,0≤y≤1;
0,其他
求：(1)常数C；
(2)(X，Y)的联合分布函数；
(3)P(X﹤Y)．
【正确答案】：(1)由(X，Y)的联合概率密度的性质，有 ∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞f(x,y)dxdy =C∫¹₀∫¹₀xydxdy=C/4=1， 所以C=4． (2)当x﹤0或y﹤0时， F(x，y)=p(X≤x，Y≤y)=0； 当0≤x﹤1，0≤y﹤1时， F(x，y)=∫^x_-∞∫^y_-∞(u，υ)dudυ =4∫^x₀udu∫^y₀υdυ =x²y²; 当0≤x<1，y≥1时， F(x，y)=P(X≤x,Y≤y)=4∫^x₀udu∫^y₀υdυ=x²； 当x≥1，0≤Y<1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫¹₀udu∫^y₀υdυ=y²； 当x≥1，y≥1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫¹₀udu∫¹₀υdυ=1； 所以(X．Y)的分布函数 F(x，y)= {0, x﹤0<或y﹤0； x²y², 0≤x﹤1，0≤y﹤1； x²，0≤x﹤1，y≥1； y², x≥1,0≤y≤1； 1, x≥1, y≥1. (3)P(x﹤y)=∫∫_x﹤yf(x,y)dxdy =∫∫_{0≤x﹤y﹤1}4xydxdy =4∫¹₀ydy∫^y₀xdx =1/2