设二维随机变量(X，Y)的概率密度 f(x,y)= {ax2+2xy2,0≤x≤1,0≤y≤1; 0,其他 试求： (1)常数a

设二维随机变量(X，Y)的概率密度
f(x,y)=
{ax²+2xy²,0≤x≤1,0≤y≤1;
0,其他
试求：
(1)常数a；
(2)分布函数F(x，y)；
(3)边缘概率密度f_X(x),f_Y(y)；
【正确答案】：(1)由(X，Y)概率密度的性质，有 ∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞f(x,y)dxdy =∫¹₀∫¹₀(ax²+2xy²)dxdy=(1/3)a+1/3=1 所以a=2． (2)由分布函数F(x，y)的定义， 当x﹤0或Y﹤0时， F(x，y)=e(X≤x，Y≤y)=0； 当0≤x﹤1，0≤y≤1时， F(x，y)=∫^x_-∞∫^y_-∞f(u,υ)dudυ =∫^x₀∫^y₀(2u²+2uυ²)dudυ =(2x³+x²+y³)/3; 当0≤x﹤1，或y≥1时， F(x，y)=∫^x_-∞∫^y_-∞f(u,υ)dudυ= ∫^x₀∫¹₀(2u²+2uυ²)dudυ =(2x³+x²)/3 当x≥1，0≤y﹤l时， F(x,y，)=∫^x_-∞∫^y_-∞f(u,υ)dudυ= ∫¹₀∫^y₀(2u²+2uυ²)dudυ =(2y+y³)/3 当x≥1，y≥1时， F(x,y)=∫^x_-∞∫^y_-∞f(u,υ)dudυ =∫¹₀∫¹₀(2u²+2uυ²)dudυ=1 因为，(X，Y)的分布函数 F(x,y)= {0, x﹤0或y﹤0； 2x³+x²y³)/3,0≤x﹤1,0≤y﹤1; (2x³+x²)/3,0≤x≤1,y≥1; 2y+y³)/3,x≥1,0≤y﹤1; 1, x≥1,y≥1； (3)f_X(x)=∫^+∞_-∞f(x,y)dy= {∫¹₀(2x²+xy²)dy,0≤x≤1; 0, 其他. = {2x²+(2/3)x,0≤x≤1; 0, 其他. 类似可得f_Y(y)= {2/3+y²,0≤y≤1; 0． 其他．