设二维随机变量(X，Y)的概率密度 f(x,y)= {ke-(5x+6y),x﹥0,y﹥0; 0,其他 (1)求常数k； (2)

设二维随机变量(X，Y)的概率密度
f(x,y)=
{ke^-(5x+6y),x﹥0,y﹥0;
0,其他
(1)求常数k；
(2)证明X与Y相互独立．
【正确答案】：(1)由(X，Y)的概率密度的性质，有 ∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞f(x,y)dxdy =∫^+∞₀∫^+∞₀ke^-(5x+6y)dxdy =k∫^+∞₀e^-5xdx∫^+∞₀e^-6y)dy =k[-(e^-5x/5)]∣^+∞₀[-(e^-6y)/6]∣^+∞₀ =k/30=1 所以k=30． (2)f_X(x)=∫^+∞_-∞f(x,y)dy= {∫^+∞₀30e^-(5x+6x)dx,x﹥0; 0， 其他． = {5e^-5x ,x﹥0; 0， 其他 f_Y(y)=∫^+∞_-∞f(x,y)dy= {∫^+∞₀30e^-(5x+6x)dx,y﹥0; 0， 其他． = {6e^-6y ,y﹥0; 0， 其他 所以有f(x，y)=f_X(x)•f_Y(y)从而X与Y相互独立．