设总体X具有概率密度 f(x)= {[βk/(k-1)!]xk-1e-βx,当x﹥0; 0，其他． 其中k为已知的正整数，求β的

设总体X具有概率密度
f(x)=
{[β^k/(k-1)!]x^k-1e^-βx,当x﹥0;
0，其他．
其中k为已知的正整数，求β的极大似然估计．
【正确答案】：当x_i﹥0(i=1，2，…，n)时，似然函数 L(β)=∏ⁿ_i=1[βkⁿ/(k-1)!]x^k-1_i)e^-βxi =[β^k/(k-1)!]ⁿexp(-β∑ⁿ_i=1x_i) (∏ⁿ_i=1x_i)^k-1 lnL(β)=knlnβ-nln(k-1)!-β∑ⁿ_i=1x_i+(k-1)ln (∏ⁿ_i=1x_i); dlnl(β)/dβ=kn/β-∑ⁿ_i=1x_i=0 解得β ̂=kn/∑ⁿ_i=1x_i=k