设随机变量X的概率密度为 fX(x)= {(3/2)x2,-1﹤x﹤1, 0,其他 求以下Y的概率密度： (1)Y=3X；(2)

设随机变量X的概率密度为
f_X(x)=
{(3/2)x²,-1﹤x﹤1,
0,其他
求以下Y的概率密度：
(1)Y=3X；(2)Y=3-X；(3)Y=X²
【正确答案】：(1)由y=3x得x=y/3，x＇=1/3 ∴f_Y(y)=f_X(y/3)•(1/3)= {y²/18 -1﹤y/3﹤1 0 其他 = {y²/18 -3﹤y/3﹤1 0 其他 (2)由Y=3-x得x=3-y，x＇=-1 ∴f_Y(y)=f_X(3-y)•∣-1∣= {3/2(3-y)² -1﹤3-y﹤1 0 其他 = {3/2(3-y)² 2﹤y﹤4 0 其他 (3)y=x²∈[0，1) (-1﹤x﹤1) 当y≤0时F_Y(y)=0，从而f_Y(y)=0 当0﹤y﹤1时F_Y(y)=P{Y﹤y}=P{X²﹤y}=P{-√y﹤X<﹤√y}=F_X(√y)-F_X((-√y) ∴f_Y(y)=F＇_Y(y)=1/(2√y)(f_X(√y)+f_X((√y))=(3/2)√y 当y≥1时F_Y(y)=P{Y≤y}=P{X²≤y} =P{-√y≤X≤√y} =P{-1≤X≤1} =∫¹_-1(3/2)x²dx=1 ∴f_Y(y)=F＇_Y(y)=0 ∴f_x(y)= {(3/2)√y 0﹤y﹤1 0 其他