设矩阵A= (11-1 1-2-1 -313)， 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

设矩阵A=
(11-1
1-2-1
-313)，
求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵．
【正确答案】：A的特征多项式为 |λE-A|= |λ-1 -1 1 | | -1 λ+2 1 | | 3 -1 λ-3| = |λ-1 -1 1| | -λ λ+3 0| |-λ+4λ² λ-4 0| =λ(λ-4)(λ+2)， 所以A的特征值为λ₁=4，λ₂=-2，λ₃=0． 对于特征值λ₁=4，解方程组(4E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 4E-A= (3 -1 1 -1 6 1 3 -1 1) → (3 -1 1 0 17/3 4/3 0 0 0) → (3 -1 1 0 1 4/17 0 0 0) → (3 0 21/17 0 1 4/17 0 0 0 ) → (1 0 7/47 0 1 4/17 0 0 0) 得方程组的基础解系α₁= (7 4 -17)， 所以A的属于特征值λ₁=4的一个特征向量为α₁． 对于特征值λ₂=-2，解方程组(-2E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -2E-A= (-3 -1 1 -1 0 1 3 -1 -5) → (1 0 -1 0 -1 -2 0 -2 -4) → (1 0 -1 0 1 2 0 0 0) 得方程组的基础解系α₂= (1 -2 1)， 所以A的属于特征值λ₂=-2的一个特征向量为α₂． 对于特征值λ₃=0，解方程组(0E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 OE-A= (-1 -1 1 -1 2 1 3 -1 -3) → (1 1 -1 0 3 0 0 -4 0) → (1 0 -1 0 1 0 0 0 0) 得方程组的基础解系α₃= (1 0 1)， 所以A的属于特征值λ₃=0的一个特征向量为α₃． 令P= (7 1 1 4 -2 0 -17 1 1)， 则P可逆，且P^-1AP= (4 -9 0)