求出下列矩阵的特征值与特征向量． (01 10)

求出下列矩阵的特征值与特征向量．
(01
10)
【正确答案】：矩阵A= (0 1 1 0) 的特征多项式为 |λE-A|= |λ -1| |-1 1| =λ²-1=(λ-1)(λ+1)， 所以矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=-1． 对于特征值λ₁=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 E-A= ( 1 -1 -1 -1) → (1 -1 0 0) 解得基础解系为α₁= (1 1)， 所以矩阵的属于特征值λ₁=1的特征向量为k₁α₁(k₁是不为零的任意常数)． 对于特征值λ₂=-1，解齐次线性方程组(-E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -E-A= (-1 -1 -1 -1) → (1 1 0 0) 得基础解系为α₂= (1 -1)， 所以矩阵的属于特征值λ₂=-1的特征向量为k₂α₂(k₂是不为零的任意常数)．