设线性方程组
{x1+x2-2x3+3x4=0
{3x1+2x2-8x3+7x4=1，
{x1-x2-6x3-x4=2α
当α为何值时，方程组有解?并在有解时，求出通解．
【正确答案】：对方程组的增广矩阵作初等行变换
(A，β)=
(1 1 -2 3 ┆ 0
3 2 -8 7 ┆ 1
1 -1 -6 -1 ┆ 2α)
→
(1 1 -2 3 ┆ 0
0 -1 -2 -2 ┆ 1
0 -2 -4 -4 ┆ 2α)
→
(1 1 -2 3 ┆ 0
0 1 2 2 ┆ -1
0 0 0 0 ┆ 2(α-1))
当α=1时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，方程组有解，
(A，β)→
(1 1 -2 3 ┆ 0
0 1 2 2 ┆ -1
0 0 0 0 ┆ 0)
→
(1 0 -4 1 ┆ 1
0 1 2 2 ┆ -1
0 0 0 0 ┆ 0)
得同解方程组
{x1=4x3-x4+1
{x2=2x3-2x4-1．
令自由未知量x3=x4=0，得方程组的一个特解
η*=
(1
-1
0
0)
方程组导出组的同解方程组为
{x1=4x3-x4
{x2=-2x3-2x4
令自由未知量x3，x4分别取值
(x3
x4)
=
(1
0)，
(0
1)
得导出组的基础解系
ξ1=
(4
-2
1
0)
ξ2=
(-1
-2
0
1)
故方程组的通解为
(1
-1
0
0)
+c1
(4
-2
1
0)
+c2
(-1
-2
0
1)
(c1，c2为任意常数)．
设线性方程组 {x1+x2-2x3+3x4=0 {3x1+2x2-8x3+7x4=1， {x1-x2-6x3-x4=2α 当α为
- 2024-11-07 03:14:39
- 线性代数（工）(13175)