设非齐次线性方程组
{αx1+x2+x3=1
{x1+αx2+x3=α，
{x1+x2+αx3=α2
当α取何值时?方程组有唯一解?无解?有无穷多解?并在有无穷多解时求通解．
【正确答案】：对方程组的增广矩阵作初等行变换
(A，β)=
(α 1 1 ┆ 1
1 α 1 ┆ α
1 1 α ┆ α2)
→
(1 α 1 ┆ α
0 1-α2 1-α ┆ 1-α2
0 1-α α-1 ┆ α2-α)
当α=1时，r(A，β)=r(A)=1＜3，方程组有无穷多解，此时
(A，β)=
(1 1 1 ┆ 1
0 0 0 ┆ 0
0 0 0 ┆ 0)
方程组的同解方程组为x1=-x2-x3+1，令自由未知量x2=x3=0，得方程组的一个特解
η*
(1
0
0)
设自由未知量x2，x3分别取值
(x2
x3)
=
(1
0)，
(0
1)，
得导出组的同解方程组x1=-x2-x3的一个基础解系
ξ1=
(-1
1
0)，
ξ2=
(-1
0
1)
故α=1时方程组有无穷多解，且其通解为
(1
0
0)
+c1
(-1
1
0)
+c2
(-1
0
1)
(c1，c2为任意常数)．
当α≠1时，
(A，β)→
(1 α 1 α
0 1+α 1 1+α
0 1 -1 -α)
当1+α=-1即α=-2时，r(A)=2≠r(A，β)=3，故方程组无解．
当α≠1且α≠-2时，r(A)=r(A，β)=3，方程组有唯一解．
设非齐次线性方程组 {αx1+x2+x3=1 {x1+αx2+x3=α， {x1+x2+αx3=α2 当α取何值时?方程组有唯一
- 2024-11-07 03:14:19
- 线性代数（工）(13175)