已知R是二元关系,S={ Ι ∀z有 ∈R且 ∈R}证明若R是等价的,则S也是等价的。

已知R是二元关系,S={ Ι ∀z有 ∈R且 ∈R}证明若R是等价的,则S也是等价的。
【正确答案】：证明:设R是A上的等价关系,对∀x∈A, ∈R由 ∈R且 ∈R,根据S的定义可知 ∈S,即S是自反的;
对∀ ∈S,可知必存在z∈A,有 R与 ∈R因R是对称的,则知 ∈R与 ∈R,由S的定义,有 ∈S,即S是对称的;
∀ ∈S及 ∈S,可知存在u1∈A及u2∈A,且有1> ∈R与1,y> ∈R,及2> ∈R与2,z> ∈R。R是传递的,故 ∈R且 ∈R,即 ∈S,即S是传递的。综上,S是等价的。