设f(x)是区间[α，b]上的连续函数，并且Φ(x)=∫αx(x-t)2dt(α≤x≤b)，证明Φ′(x)=2∫0x(x-t)f

设f(x)是区间[α，b]上的连续函数，并且
Φ(x)=∫_α^x(x-t)²dt(α≤x≤b)，
证明Φ′(x)=2∫₀^x(x-t)f(t)dt.
【正确答案】：证明：Φ(x)=∫_α^x(x-2tx+t²)f(t)dt =x²∫_α^xf(t)dt-2x∫_α^xtf(t)dt+∫_α^xt²f(t)dt 所以 Φ′(x)=(x²∫_α^x(t)dt)′-2(x∫_α^xtf(t)dt)′+(∫_α^xt²f(t)dt)， =2x∫_α^xtf(t)dt+x²f(x)-2∫_α^xtf(t)dt-2x²f(x)+x²f(x) =2∫_α^xxf(t)dt-2∫_α^xtf(t)dt=2∫_α^x(x-t)f(t)dt.