下列矩阵为A，求正交矩阵Q，使Q-1AO为对角矩阵．(1-2-21)

下列矩阵为A，求正交矩阵Q，使Q^-1AO为对角矩阵．
(1-2
-21)
【正确答案】：矩阵A= (1 -2 -2 1) 的特征多项式为 |λE-A|= |λ-1 2| | 2 λ-1| =(λ-3)(λ+1)， 所以A的特征值为λ₁ =3，λ₂ =-1． 对于特征值λ₁ =3，解方程组(3E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 3E-A= (2 2 2 2) → (1 1 0 0) 方程组的基础解系为α₁ = (1 -1)， 所以A的属于特征值λ₁ =3的一个特征向量为α₁ ，单位化得 β₁ = (1/√2 -1/√2) 对于特征值λ₂ =-1，解方程组(-E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -E-A= (2 2 2 -2 → (1 -1 0 0) 方程组的基础解系为α₁= (1 1)， 所以A的属于特征值λ₂=-1的一个特征向量为α₂，单位化得 β₂= (1/√2 1/√2) 令Q= ( 1/√2 1/√2 -1/√2 1/√2)， 则Q为正交矩阵，且有 Q^-1AQ= (3 -1)