求A=(624232426)的特征值和线性无关的特征向量．

求A=
(624
232
426)
的特征值和线性无关的特征向量．
【正确答案】：先求出A的特征多项式 |λE-A|= |λ-6 -2 -4| | -2 λ-3 -2| | -4 -2 λ-6| = |λ-2 -2 -4 | | 0 λ-3 -2| |2-λ -2 λ-6| = |λ-2 -2 -4 | | 0 λ-3 -2 | | 0 -4 λ-10| =(λ-2)[(λ-3)(λ-10)-8] =(λ-2)(λ²-13λ+22) =(λ-2)²(λ-11)， 因此A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=11． 用来求特征向量的齐次线性方程组为 (λE-A)x= (λ-6 -2 -4 -2 λ-3 -2 -4 -2 λ-6) (x₁ x₂ x₃) =0． 属于λ₁=λ₂=2的特征向量p= (x₁ x₂ x₃) 满足 {-4x₁-2x₂-4x₃=0 {-2x₁-x₂-2x₃=0， {-4x₁-2x₂-4x₃=0 对其系数矩阵作初等行变换 (-4 -2 -4 -2 -1 -2 -4 -2 -4) → (2 1 2 0 0 0 0 0 0) 得同解方程组x₂=-2(x₁+x₃)． 可得A的属于特征值2的两个线性无关的特征向量 p₁= (1 -2 0)， p₂= (0 -2 1) 属于λ=11的特征向量p= (x₁ x₂ x₃) 满足 {5x₁-2x₂-4x₃=0 {-2x₁+8x₁-2x₃=0， {-4x₁-2x₂+5x₃=0 消去前两个方程中的x₃，可得9x₁-18x₂=0，即x₁=2x₂．消去后两个方程中的x₁，可得 18x₂-9x₃=0，即x₃=2x₂，于是可求出A的属于特征值11的特征向量 p₃= (2 1 2)