设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=λ3=2，向量α1=(1，-2，1)T是矩阵A的属于特征值λ1=1的特征向量．求A的

设三阶实对称矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=λ₃=2，向量α₁=(1，-2，1)^T是矩阵A的属于特征值λ₁=1的特征向量．求A的属于特征值λ₂=2的特征向量，并求矩阵A．
【正确答案】：设A的属于特征值λ₂=2的特征向量为α=(x₁，x₂，x₃)^T，则α₁^Tα=0，即x₁-2x₂+x₃=0，解得方程组的基础解系为α₂=(2，1，0)^T，α₃=(-1，0，1)^T，则c₂α₂+c₃α₃(c₂，c₃为任意非零常数)为A的属于特征值λ₂=λ₃=2的特征向量，令P=(α₁，α₂，α₃)，则P可逆，且P^-1AP= (1 2 2)， 即A=P (1 2 2) P^-1= (1/6 -1/3 1/6 1/3 1/3 1/3 -1/6 1/3 5/6)， 故A= (1 2 -1 -2 1 0 1 0 1) (1 2 2) (1/6 -1/3 1/6 1/3 1/3 1/3 -1/6 1/3 5/6) =1/6 (11 2 -1 2 8 2 -1 2 11)