设线性方程组{x1+x2+x3=0{x1+αx2+2x3=0{x1+α2x2+4x3=0当α为何值时，方程组有非零解?并求出通解

设线性方程组
{x₁+x₂+x₃=0
{x₁+αx₂+2x₃=0
{x₁+α²x₂+4x₃=0
当α为何值时，方程组有非零解?并求出通解．
【正确答案】：若齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式为零， |A|= |1 1 1| |1 α 2| |1 α² 4| = |1 1 1| |0 α-1 1| |0 α-1 3| =-(α-1)(α-2)=0， 即α=1或α=2． 当α=1时， A= (1 1 1 1 1 2 1 1 4) → (1 1 1 0 0 1 0 0 3) → (1 1 1 0 0 1 0 0 0) → (1 1 0 0 0 1 0 0 0) 得同解方程组 {x₁=-x₂ {x₃=0 令自由未知量x₂=1，得基础解系ξ₁= (-1 1 0)， 通解为c₁ξ₁(c₁为任意常数)． 当α=2时， A= (1 1 1 1 2 2 1 4 4) → (1 1 1 0 1 1 0 3 3) → (1 0 0 0 1 1 0 0 0) 得同解方程组 {x₁=0 {x₂=-x₃ 令自由未知量x₃=-1，得基础解系ξ₂= (0 1 -1)， 通解为c₂ξ₂(c₂为任意常数)．