求解线性方程组{2x1-x2+3x3+2x4=0{9x1-x2+14x3+2x4=1{3x1+2x2+5x3-4x4=1{4x1

求解线性方程组
{2x₁-x₂+3x₃+2x₄=0
{9x₁-x₂+14x₃+2x₄=1
{3x₁+2x₂+5x₃-4x₄=1
{4x₁+5x₂+7x₃-10x₄=2
【正确答案】：对方程组的增广矩阵作初等行变换 (A，β)= (2 -1 3 2 ┆ 0 9 -1 14 2 ┆ 1 3 2 5 -4 ┆ 1 4 5 7 -10┆ 2) → (-1 -3 -2 6 ┆ -1 9 -1 14 2 ┆ 1 3 2 5 -4 ┆ 1 4 5 7 -10 ┆ 2) → (-1 -3 -2 6 ┆ -1 0 -28 -4 56 ┆ -8 0 -7 -1 14 ┆ -2 0 -7 -1 14 ┆ -2) → (1 3 2 -6 ┆ 1 0 7 1 -14 ┆ 2 0 0 0 0 ┆ 0 0 0 0 0 ┆ 0) → (1 0 11/7 0 ┆ 1/7 0 1 -2 -2 ┆ 2/7 0 0 0 0 ┆ 0 0 0 0 0 ┆ 0） 系数矩阵和增广矩阵的秩均为2，所以方程组有无穷多个解，同解方程组为 {x₁=-(11/7)x₃+1/7 {x₂=-(7/11)x₃+2x₄+2/7 令自由未知量x₃=x₄=0，得方程组的一个特解 η*= (1/7 2/7 0 0) 方程组的导出组的同解方程组为 {x₁=-(11/7)x₃ {x₂=-(1/7)x₃+2x₄ 设自由未知量分别取值 (x₂ x₄) = (7 0)， (0 1)， 则导出组的基础解系为 ξ₁= (-11 -1 7 0)， ξ₂= (0 2 0 1) 故方程组的通解为 (1/7 2/7 0 0) +c₁ (-11 -1 7 0) +c₂ (0 2 0 1) (c₁，c₂为任意常数)．