设非齐次线性方程组{αx1+x2+x3=1{x1+αx2+x3=α，{x1+x2+αx3=α2当α取何值时?方程组有唯一解?无解

设非齐次线性方程组
{αx1+x2+x3=1
{x1+αx2+x3=α，
{x1+x2+αx3=α2
当α取何值时?方程组有唯一解?无解?有无穷多解?并在有无穷多解时求通解．
【正确答案】：对方程组的增广矩阵作初等行变换 (A，β)= (α 1 1 ┆ 1 1 α 1 ┆ α 1 1 α ┆ α2) → (1 α 1 ┆ α 0 1-α2 1-α ┆ 1-α2 0 1-α α-1 ┆ α2-α) 当α=1时，r(A，β)=r(A)=1＜3，方程组有无穷多解，此时 (A，β)= (1 1 1 ┆ 1 0 0 0 ┆ 0 0 0 0 ┆ 0) 方程组的同解方程组为x1=-x2-x3+1，令自由未知量x2=x3=0，得方程组的一个特解 η* (1 0 0) 设自由未知量x2，x3分别取值 (x2 x3) = (1 0)， (0 1)， 得导出组的同解方程组x1=-x2-x3的一个基础解系 ξ1= (-1 1 0)， ξ2= (-1 0 1) 故α=1时方程组有无穷多解，且其通解为 (1 0 0) +c1 (-1 1 0) +c2 (-1 0 1) (c1，c2为任意常数)． 当α≠1时， (A，β)→ (1 α 1 α 0 1+α 1 1+α 0 1 -1 -α) 当1+α=-1即α=-2时，r(A)=2≠r(A，β)=3，故方程组无解． 当α≠1且α≠-2时，r(A)=r(A，β)=3，方程组有唯一解．