设θ̂1及θ̂2是θ̂的两个独立的无偏估计量，假定D(θ̂1)=2D(θ̂2)

设θ̂₁及θ̂₂是θ̂的两个独立的无偏估计量，假定D(θ̂₁)=2D(θ̂₂)．求常数C₁及C₂，使θ̂₁=C₁θ̂₁+C₂θ̂₂为θ̂的无偏估计，并使D(θ̂)达到最小。
【正确答案】：由于θ ̂₁，θ ̂₂，是θ的两个独立的无偏估计，则有 E(θ ̂₁)=p，E(θ ̂₂)=0． 要使θ ̂=C₁θ ̂₁+ C₂θ ̂₂ 为θ的无偏估计，则有 E(θ ̂)=E(C₁θ ̂₁+θ ̂₂θ ̂₂)= C₁θ ̂₁+C₂θ ̂₁=θ， 即C₁，C₂必须满足C₁+C₂=1 又D(θ ̂₁)=2D(θ ̂₂)，则θ ̂₂比θ ̂₁有效，而 D(θ ̂)/D(Cθ ̂₂)=D(C₁θ ̂₁+C₂θ ̂₂)/D(θ ̂₂)=( [2C²₁D(θ ̂₂)+C²₂D(Cθ ̂₂)]/D(θ ̂₂) =2C²₁+C₂²=2C²₁+(1-C₁)² =3C²₁-2C₁+1=3(C₁-1/3)²+2/3. 所以当C₁=1/3时，D(θ ̂)/D(θ ̂₂)最小，即C₁=1/3,C₂=2/3时， θ ̂=C₁θ ̂₁+C₂θ ̂₂为θ的无偏估计，并使D(θ ̂)最小．