设X服从参数为λ=1的指数分布，求以下Y的概率密度： (1)Y=2X+1； (2)Y=eX； (3)Y=X2．

设X服从参数为λ=1的指数分布，求以下Y的概率密度：
(1)Y=2X+1；
(2)Y=e^X；
(3)Y=X²．
【正确答案】：x的密度函数为f_X(x)= {e^-x x﹥0 0 x≤0 (1)由y=2x+1得x=(y-1)/2，x＇=1/2 ∴f_Y(y)=f_X[(y-1)/2]•1/2= {(1/2)e-(^-[(y-1)/2](y-1)/2﹥0 0 (y-1)/2≤0 = {(1/2)e-(^-[(y-1)/2] y﹥1 0 y≤1 (2)由y=e^x得x=lny，x＇=1/y f_Y(y)=f_X(lny)•1/y= {e^-lny•1/y lny﹥0 0 lny≤0 = {1/y² y﹥1 0 y≤1 (3)y=x²∈[0，+∞) 当y﹥0时，F_X(y)=p{Y≤y}=p{X²≤y}=P{-√y≤X≤√y}=P{0﹤X≤√y}=F_X(√y)-F_X(0) ∴F_Y(y)=F＇_Y(y)=1/(2√y)f_X(√y)=1/(2√y)e^{-√y ∴F_Y(y)= {(1/2√y)e-√y y﹥0 0 y≤0}