设矩阵A=αβ，其中α= (1 2 3)， β= (1 2 -1)， 求矩阵A的特征值与特征向量．

设矩阵A=αβ，其中α=
(1
2
3)，
β=
(1
2
-1)，
求矩阵A的特征值与特征向量．
【正确答案】：A=αβ^T= (1 2 -1 2 4 -2 3 6 -3)， A的特征多项式为 |λE-A|= |λ-1 -2 1 | | -2 λ-4 2 | | -3 -6 λ+3| = |λ-1 -2 1| | -2λ λ 0| |-λ-2λ² 2λ 0| =λ²(λ-2)， 所以A的特征值为λ₁=λ₂=0，λ₃=2． 对于λ₁=λ₂=0，解方程组(0E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -A= (-1 -2 1 -2 -4 2 -3 -6 3) → (1 2 -1 0 0 0 0 0 0) 得方程组的基础解系为α₁= (-2 1 0)， α₂= (1 0 1)， 所以A的属于特征值λ₁=λ₂=0的特征向量为 k₁ (-2 1 0) +k₂ (1 0 1) (k₁，k₂为任意非零常数)． 对于特征值λ₃=2，解方程组(2E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 2E-A= (1 -2 1 -2 -2 2 -3 -6 5) → (1 -2 1 0 -6 4 0 -12 8) → (1 -2 1 0 1 -2/3 0 0 0) → (1 0 -1/3 0 1 -2/3 0 0 0 得方程组的基础解系为α₃= (1 2 3)， 所以A的属于特征值λ₃=2的特征向量为k₃ (1 2 3) (k₃为任意非零常数)．