设线性方程组
{x1+x2+x3=0
{x1+αx2+2x3=0
{x1+α2x2+4x3=0
当α为何值时，方程组有非零解?并求出通解．
【正确答案】：若齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式为零，
|A|=
|1 1 1|
|1 α 2|
|1 α2 4|
=
|1 1 1|
|0 α-1 1|
|0 α-1 3|
=-(α-1)(α-2)=0，
即α=1或α=2．
当α=1时，
A=
(1 1 1
1 1 2
1 1 4)
→
(1 1 1
0 0 1
0 0 3)
→
(1 1 1
0 0 1
0 0 0)
→
(1 1 0
0 0 1
0 0 0)
得同解方程组
{x1=-x2
{x3=0
令自由未知量x2=1，得基础解系ξ1=
(-1
1
0)，
通解为c1ξ1(c1为任意常数)．
当α=2时，
A=
(1 1 1
1 2 2
1 4 4)
→
(1 1 1
0 1 1
0 3 3)
→
(1 0 0
0 1 1
0 0 0)
得同解方程组
{x1=0
{x2=-x3
令自由未知量x3=-1，得基础解系ξ2=
(0
1
-1)，
通解为c2ξ2(c2为任意常数)．
设线性方程组 {x1+x2+x3=0 {x1+αx2+2x3=0 {x1+α2x2+4x3=0 当α为何值时，方程组有非零解?并
- 2024-11-07 03:14:30
- 线性代数（工）(13175)