α，b取何值时，方程组 {x1+2x2=3 {4x1+7x2+x3=10 {x2-x3=b {2x1+3x2+αx3=4 无解、

α，b取何值时，方程组
{x₁+2x₂=3
{4x₁+7x₂+x₃=10
{x₂-x₃=b
{2x₁+3x₂+αx₃=4
无解、有唯一解、有无穷多个解．
【正确答案】：增广矩阵(A，β)= (1 2 0 ┆ 3 4 7 1 ┆ 10 0 1 -1 ┆ b 2 3 α ┆ 4) → (1 2 0 ┆ 3 0 -1 1 ┆ -2 0 1 1 ┆ 6 0 -1 α ┆ -2) → (1 2 0 ┆ 3 0 -1 1 ┆ -2 0 0 0 ┆ b-2 0 0 α-1 ┆ 0) → (1 2 0 ┆ 3 0 -1 1 ┆ -2 0 0 α-1 ┆ 0 0 0 0 ┆ b-2) b≠2时方程组无解，b=2时方程组有解． (1)b=2，α≠1时，r(A)=r(A，β)=3，方程组有唯一解． (A，β)→ (1 0 0 ┆ -1 0 -1 0 ┆ -2 0 0 1 ┆ 0 0 0 0 ┆ 0) → (1 0 0 ┆ -1 0 1 0 ┆ 2 0 0 1 ┆ 0 0 0 0 ┆ 0) 所以x₁=-1，x₂=2，x₃=0，即其唯一解为ξ=(-1，2，0)^T． (2)b=2，α=1时，r(A)=r(A，β)=2＜3，方程组有无穷多个解． (A，β)→ (1 2 0 ┆ 3 0 1 1 ┆ 1-2 0 0 0 ┆ 0 0 0 0 ┆ 0) → (1 0 2 ┆ -1 0 1 -1 ┆ 2 0 0 0 ┆ 0 0 0 0 ┆ 0)， 令x为自由未知量，取x₃=0，得原方程组的一个特解ξ*=(-1，2，0)^T，其导出组的基础解 系为ξ₁=(-2，1，1)^T，所以原方程组的通解为ξ=ξ*+kξ₁(k为任意常数)．