已知齐次线性方程组 (1)： {x1+2x2+3x3-x4=0 {2x1+3x2+x3+x4=0 (2)： {3x1+2x2+x

已知齐次线性方程组
(1)：
{x₁+2x₂+3x₃-x₄=0
{2x₁+3x₂+x₃+x₄=0
(2)：
{3x₁+2x₂+x₃-x₄=0
{5x₁+5x₂+2x₃=0
求方程组(1)与(2)的全部非零公共解.
【正确答案】：若(1)(2)有非零公共解，则方程组 {x₁+2x₂+3x₃-x₄=0 {2x₁+3x₂+x₃+x₄=0 {3x₁+2x₂+x₃-x₄=0 {5x₁+5x₂+2x₃ =0 有非零解，对其系数矩阵作初等行变换 A= (1 2 3 -1 2 3 1 1 3 2 1 -1 5 5 2 0) → (1 2 3 -1 0 -1 -5 3 0 -4 -8 2 0 -5 -13 5 → (1 2 3 -1 0 1 5 -3 0 0 12 -10 0 0 0 0) → (1 0 -7 5 0 1 5 -3 0 0 1 -5/6 0 0 0 0) → (1 0 0 -5/6 0 1 0 7/6 0 0 1 -5/6 0 0 0 0 由于系数矩阵的秩为3，所以基础解系由4-3=1个解向量构成，取x₄为自由未知量，得同解 方程组 {x₁=(5/6)x₄ {x₂=-(7/6)x₄ {x₃=(5/6)x₄ 取x₄=1，得基础解系ξ= (5/6 -7/6 5/6 1)， 故其通解为cξ(c为任意常数)，因此(1)(2)有非零公共解 ( 5/6 -7/6 5/6 1) (c为任意常数)．