证明下列命题的等值关系:(1)(P→Q)⋀(R→Q)(PⅤR)→Q;(2)(P⋀QA→C)⋀(A→PⅤQⅤC)⟺ (A⋀(P⟷

证明下列命题的等值关系:
(1)(P→Q)⋀(R→Q)(PⅤR)→Q;
(2)(P⋀QA→C)⋀(A→PⅤQⅤC)⟺ (A⋀(P⟷ Q))→C;
(3)P→(Q→P)⟺ Q→(P→R);
(4)(P→Q)⋀(P→R)⟺ P→(Q⋀R);
(5)(PⅤQ)⋀¬(P ⋀Q)⟺¬ (P⟷ Q)。
【正确答案】:

(1)(P→Q)⋀(R→Q) ⟺ (PⅤR)→Q
证明:左=(P→Q)⋀(R→Q)
⟺ (¬PⅤQ)⋀(¬RⅤQ)  (蕴涵等值式)
⟺ (¬P⋀¬R)ⅤQ   (Ⅴ对⋀的分配)
⟺ ¬(PⅤR)ⅤQ   (德摩根律)
⟺ (PⅤR)→Q=右   (蕴涵等值式)
故(P→Q)⋀(R→Q) ⟺ (PⅤR)→Q。证毕
(2)
(3)P→(Q→P)⟺ Q→(P→R)
证明:左=P→(Q→R)
⟺ ¬PⅤ(¬QⅤR)   (蕴涵等值式)
⟺ ¬QⅤ(¬PⅤR)   (交换律)
⟺ Q→(P→R)=右   (蕴涵等值式)
故P→(Q→P)⟺ Q→(P→R)。证毕
(4) (P→Q)⋀(P→R)⟺ P→(Q⋀R)
证明:左=(P→Q)⋀(P→R)
⟺ (¬PⅤQ)⋀(¬PⅤR)   (蕴涵等值式)
⟺ ¬PⅤ(Q⋀R)   (分配律)
⟺ P→(Q⋀R)=右   (蕴涵等值式)
故(P→Q)⋀(P→R)⟺ P→(Q⋀R)。证毕
(5)