求下述集合等式成立的充要条件,并证明结论(A-C)∪B=A∪B

求下述集合等式成立的充要条件,并证明结论(A-C)∪B=A∪B
【正确答案】：(1)(A-C)∪B=A∪B成立的充要条件是(A∩C)⊆B
(2)现在证明上面的结论
证明:由于A-C⊆A
所以(A-C)∪B⊆A∪B（*）
易知A-C=A-A∩C，
由(A∩C)⊆B可得(A-B)⊆(A-A∩C),于是
A∪B=(A-B)∪B⊆C(A-A∩C)∪B=(A-C)∪B (**）
综合(*)与(**）可知(A-C)∪B=A∪B
故(A∩C)⊆B为(A-C)∪B=A∪B成立的充分条件
由(A-C)∪B=A∪B
可得(A-A∩C)∪B=A∪B
由于A∩C⊆A,故必有(A∩C)⊆B
故(A∩C)⊆B为(A-C)∪B=A∪B成立的必要条件
综合上述,(A-C)∪B=A∪B成立的充要条件是(A∩C)⊆B