设在实数集R上有运算*,定义为∀a、b∈R,a*b=a+b+2ab证明 是群,并求出其单位元和R中任意元素a的逆元。

设在实数集R上有运算*,定义为∀a、b∈R,a*b=a+b+2ab
证明 是群,并求出其单位元和R中任意元素a的逆元。
【正确答案】：证明:(1) ∀a、b∈R=> a*b=a+b+2ab∈R
因此运算*是封闭的。
(2) ∀a、b∈R
( a*b)*c =a+b+c+2ab+2bc +2ac+4abc
a*(b*c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac+4abc=(a*b)*c
因此运算*是可结合的。
(3) ∀a ∈R => a*0=a+0+0=a
因此0是 的单位元。
综合(1)(2)(3), 是群,
∀a∈R,a*(-a/ (1+2a))=a-a=0,即a的逆元为-a/(1+2a)