R={a+bi l a*b∈Z,i2=-1},关于复数的加法+和乘法*,证明 是一个整环。

R={a+bi l a*b∈Z,i2=-1},关于复数的加法+和乘法*,证明 是一个整环。

【正确答案】：证明:(1)先证明 是一个环;① 是Abel群;
R是复数集合,对加法是封闭的;加法也满足结合律和交换律;
 0是加法幺元,对每个复数a+bi,-a-bi是其逆元。
 综上, 是Abel群。
 ② 是半群;
 乘法在复数集合上是封闭的;
 ∀r1,r2,r3∈R,设r1=a+bi,r2=c+di,r3=e+fi,
 (r1*r2)*r3=((a+bi)*(c+di)*(e+fi)=((ac-bd)+(bc+ad)i))*(e+fi)
=(ace-bde-adf-bcf)+(acf-bdf+ade+bce)i
r1*(r2*r3)=(a+bi)*((c+di)*(e+fi))=(a+bi)*((ce-fd)+(ed+cf)i)
=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i
 所以,(r1*r2)*r3=r1*(r2*r3),运算*满足结合律, 是半群。
 ③运算*对+可分配;
 ∀r1,r2,r3∈R,r1*(r2+r3)=(a+bi）*（c+di+e+fi）
=(ac+ae-bd-bf）+（ad+af+bc+be）i
而r1*r2+r1*r3=(a+bi)*(c+di)+(a+bi)*(e+fi）
=(ac+ae-bd-bf）+（ad+af+bc+be）i
所以r1*(r2+r3)=r1*r2+r1*r3,运算*对+满足分配律;
 所以 是一个环。 (2)再证明 是一个整环;
 ①运算*满足交换律;
 ∀r1,r2∈R,r1*r2=(a+bi）*（c+di)=(ac-bd)+（bc+ad）i
r2*r1=(c+di）*（a+bi）=（ac-bd）+(bc+ad)i,
r1*r2=r2*r1,运算*满足交换律;
 ②运算*有幺元;
 ∀r∈R,r*(1+0i)=(a+bi)*(1+0i)=a+bi,(1+0i)是幺元;
 ③无零因子;
 (0+0i)是加法幺元,∀r1,r2∈R,若r1*r2=(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad) i=0+0i,
 则ac-bd=0,bc+ad=0,整理得b/c(c2+d2)=0,(a2+b2)d=0
 若r2≠0,则b=0且a=0;若r1≠0,则c=0且d=0;
 故 是无零因子环;
综上, 是整环。  证毕