对于任意两个正整数m和n,试证: m＋n, m-n,mn三者中至少有一个是3的倍数.

对于任意两个正整数m和n,试证: m＋n, m-n,mn三者中至少有一个是3的倍数.
【正确答案】：分析这与教材中例1是类似的,但条件比例1更弱一些,不过证明思路与例1是相同的,只是需要分析的情况更多一些.
证明当m,n其中一个能被3整除时,mn必是3的倍数.当m,n均不能被3整除时,可能出现的情况有以下几种:
m=3p+1,m=3p＋2;
n=3q+1,n=3q＋2.
下面分别进行讨论.
当m=3p＋1时，
若n=3q＋1,不妨设m>n,由m―n=(3p＋1)—(3q+1)=3p—3q=3(p一q),可得m―n是3的倍数;
若n=3q+2,由m＋n=(3p＋1)＋(3q＋2)=3p＋3q＋3=3(p +q＋1),可得m＋n是3的倍数.
综上可得,m＋n, m―n, mn中至少有一个是3的倍数,故结论成立.
当m= 3p＋2时,类似可证结论成立.